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Grenzwerte E Funktion Beispiel Essay

Die e-Funktion gehört zur Gruppe der Exponentialfunktionen und wird auch „natürliche Exponentialfunktion“ genannt. Um die e-Funktion zu verstehen, schauen wir uns zuerst die Grundlagen zu Exponentialfunktionen an:

Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis b), wenn sie die Form

   

aufweist, wobei b eine beliebige positive Konstante bezeichnet. Falls b=e ist, spricht man im Allgemeinen von „der“ e-Funktion.

Bitte lasst euch nicht von diesem e verwirren. Es handelt sich hierbei um die eulersche Zahl – eine ganz normale Zahl e = 2,718281828459045235.. . Die Form der Exponentialfunktion erinnert uns an die des Potenzausdrucks, wobei hier die Rolle von Basis und Exponent vertauscht wird!

Hier können wir also nicht wie gewohnt ableiten und müssen den Ausdruck für Ableitungszwecke umschreiben. Es gilt:

   

Für den Fall das b=e ist, gilt als Folge der Potenzgesetze für die e-Funktion:

   

Hier seht ihr den Graphen der e-Funktion

Wie ihr sehen könnt verläuft der Graph der e-Funktion immer oberhalb der x-Achse. Der Graph nähert sich zwar der x-Achse an, wird diese aber nicht schneiden. Dies bedeutet wiederum, dass die klassische e-Funktion keine Nullstellen besitzt. Der streng monoton steigende verlauf der Funktion schneidet die y-Achse im punkt (0|1).
Thema e-Funktion noch nicht verstanden? Schaut euch nochmal die Einleitung :

 

Rechnen mit der e-Funktion

Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus ln. Ein nützlicher Zusammenhang ist

   

Achtet auf die Logarithmengesetze! Es folgen einige Beispiele zum Lösen e-Funktionen:

   

Warum bringt keine Lösung? Wenn man beide Seite logarithmiert folgt . Da der natürliche Logarithmus aber für 0 nicht definiert ist (, gibt es keine Lösung.

Hier noch zwei weitere Beispiele:

   

   

Schau dir zur Wieerholung die komplette Playlist zum Thema Exponentialsfunktion an!

 

Ableiten der Exponentialfunktion

Eine e-Funktion wird folgendermaßen abgeleitet: Ihr verwendet „offiziell“ die Kettenregel, aber es geht eigentlich um einiges einfacher. Wir betrachten dafür die Funktion

   

welche wir nach x ableiten wollen. Dafür schreiben wir einfach den Term mit der e-Funktion nochmal hin und multiplizieren das Ding mit dem abgeleiteten Exponenten. Der Exponent ist hier 5x und abgeleitet wäre das einfach 5. Dann folgt für die Ableitung

   

Weitere Beispiele stehen in der nebenstehenden Tabelle.

Falls eine e-Funktion mit anderen Funktionen multipliziert wird, müssen wir die bereits bekannte Produktregel anwenden.

Hier ein kleines Beispiel

 

   

Somit ergibt sich für die erste Ableitung:

   

Wer möchte, kann diesen Ausdruck jetzt noch etwas umschreiben:

   

 

Integrieren der e-Funktion

 

Egal ob Nullstellen bestimmen, Ableitung oder Stammfunktion bilden: Achtet auf die Struktur der Funktion! Steht da nur eine Summe oder Differenz, ist ein Produkt aus Term mit einer Variablen mal e hoch irgendwas zu erkennen?

Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zum Thema Stammfunktion bei e-Funktion an.

 

Symmetrie der e-Funktion

Ist achsensymmetrisch zur y-Achse? Dann müsste gelten:

   

Ist punktsymmetrisch zum Ursprung? Dann müsste gelten:

   

Schau dir Daniels Lernvideo zum Thema Symmetrie an.

 

Grenzverhaltender e-Funktion

Exponentialfunktionen und ihre Graphen werden auf dieselbe Weise untersucht wie ganzrationale Funktionen. Nur das Verhalten
einer Exponentialfunktion für und für wird durch andere Regeln beherrscht.

Darüber hinaus gilt für :

Beispiel

   

Merkt euch: Bei der Betrachtung des Grenzverhaltens orientieren wir uns an der e-Funktion – die am stärksten wachsende Funktion.

Beispiel Betrachten wir den Graph von , bestätigt sich unsere Grenzwertberechnung.

  • lassen wir x gegen laufen, strebt die Funktion gegen +
  • lassen wir x gegen laufen, strebt die Funktion gegen 0, somit ist die x-Achse Asymptote

 

Danel erklärt dir das Grenzverhalten bei einer e-Funktion nochmal in seinem Lernvideo.

 

Steckbrief mit e-Funktion

Denkt an die Schritte bei Steckbriefaufgaben. Es kann sein, dass die gesuchte Funktion die Form

   

aufweisen soll. Es liegen somit zwei Unbekannte vor und die Aufgabe müsste zwei Bedingungen hergeben. In unserem Beispiel sollen die Funktion durch die Punkte P(2|4) und Q(5|200) gehen. Wir stellen somit unser Gleichungssystem auf

   

und lösen es nach den Unbekannten a und k auf. Möglichkeit: Gleichung nach a umstellen und in einsetzen. Wir erhalten dann für k=-1,3 und a=0,6 und damit die gesuchte Funktion:

   

Ein einfaches Beispiel wäre, wenn die gesuchte Funktion die Form

   

aufweist und durch den Punkt P(2|10) soll. Warum einfacher? Weil es nur eine Unbekannte k gibt.

Wie man eine e-Funktion mittels 2 Punkte aufstellt zeigt dir Daniel hier in seinem Lernvideo.

Weitere Vertiefungsvideos findest du in Daniels Playlist zum Thema e-Funktion!

e-Funktion, Kurvendiskussion, Übersicht 1, Mathe online | Mathe by Daniel Jung

Gleichungen lösen bei e^x, Übersicht 1, e-Funktion | Mathe by Daniel Jung

e-Funktion im Produkt ableiten, Produkt- und Kettenregel, Ableitung Exponentialfunktion

Exponentialfunktion ableiten, Ableitung e-Funktion, einfache Übersicht | Mathe by Daniel Jung

Stammfunktion e^x Übersicht, e-Funktion, Integrationsmöglichkeiten | Mathe by Daniel Jung

Symmetrie bei e-Funktionen, Exponentialfunktion, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung

Grenzverhalten bei e-Funktionen, Limes-Schreibweise bei e hoch x | Mathe by Daniel Jung

Aufstellen Exponentialfunktion mittels 2 Punkten, e-Funktion | Mathe by Daniel Jung

Playlist: e-Funktion, die besondere Exponentialfunktion, Eulerfunktion, Analysis

Grenzwerte einiger Funktionen

In diesem Artikel findest du die Grenzwerte von einigen wichtigen Funktionen. Die graphischen Darstellungen sollen dabei helfen, sich diese Grenzwerte einzuprägen. Zur Bedeutung von Grenzwerten siehe Grenzwertbetrachtung.

Potenzfunktion

Für gerade und ganzzahlige %%n>0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n=\infty$$
Grafik - Beispiel %%y=x^2%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=x^2%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung immer größer werdender negativer Werte (minus unendlich), so werden die Funktionswerte immer größer (Grenzwert ist plus unendlich).

Und für ungerade und ganzzahlige %%n>0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n=-\infty$$
Grafik - Beispiel %%y=x^3%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=x^3%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung immer größer werdender negativer Werte (minus unendlich), so werden die Funktionswerte immer kleiner (Grenztwert ist minus unendlich).

Für ungerade sowie gerade ganzzahlige %%n>0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^n=\infty$$

Für gerade und ganzzahlige %%n<0%% gilt:

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x< 0}} x^n=\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}} x^n=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=\frac{1}{x^2}%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\frac{1}{x^2}%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung %%x=0%% von linker Seite, dann werden die Funktionswerte immer größer (plus unendlich, linksseitiger Grenzwert). Bewegen wir uns in Richtung %%x=0%% von der rechten Seite, dann werden die Funktionswerte auch immer größer (plus unendlich, rechtsseitiger Grenzwert). Wir stellen fest, dass links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.

Für ungerade und ganzzahlige %%n<0%% gilt:

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x< 0}} x^n=-\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}} x^n=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=\frac{1}{x}%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\frac{1}{x}%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung %%x=0%% von linker Seite, dann werden die Funktionswerte immer kleiner (minus unendlich). Bewegen wir uns in Richtung %%x=0%% hingegen von der rechten Seite, dann werden die Funktionswerte diesmal immer größer (plus unendlich). Rechts- und linksseitiger Grenzwert sind verschieden!

Für gerade sowie ungerade ganzzahlige %%n<0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n=0$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^n=0$$

Wurzelfunktion

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}=\infty$$

  • $$\lim_{x\rightarrow0}\sqrt{x}=0$$

Grafik - Beispiel %%y=\sqrt{x}%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\sqrt{x}%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden auch die Funktionswerte immer größer (der Grenzwert ist plus unendlich).
Die Wurzelfunktion ist nur für nichtnegative reelle Zahlen definiert. Der Grenzwert bei Annäherung an die Null von der rechten Seite ist somit Null.
Ein Grenzwert für x gegen minus unendlich existiert nicht, da Wurzeln im Bereich der reellen Zahlen nur für %%x\ge 0%% berechnet werden können.

Exponentialfunktion

Für reelle %%a>1%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=0$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=2^x%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=2^x%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden auch die Funktionswerte immer größer (der Grenzwert ist plus unendlich).
Bewegen wir uns hingegen in Richtung negativer x-Werte, so werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen Null (der Grenzwert ist Null).

Für reelle a, welche im Intervall (0;1) liegen, gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=\infty$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=0$$

Wie kann man dies bestimmen?

Für reelle %%a>1%% kann man die Funktion %%f(x)=a^x%% zunächst umschreiben (Rechenregeln für Logarithmen nutzen):

$$f(x)=e^{\ln(a^x)}=e^{x\cdot \ln(a)}$$

Nun können die Informationen aus dem Abschnitt "e-Funktion" unter Nutzung der Rechenregeln, die weiter unten angebenen sind, verwendet werden.
Für x gegen Unendlich strebt die e-Funktion gegen Unendlich. Für x gegen minus Unendlich geht die e-Funktion gegen Null. Dabei hat der Konstante Faktor %%\ln(a)%% gegenüber der Variable x bei der Grenzwertberechnung keinen Einfluss, da "die Unendlichkeit überwiegt".
Ein analoges Vorgehen ist für den Fall möglich, dass a im Intervall (0,1) liegt.

Grafik - Beispiel %%y=\left( \frac{1}{2}\right) ^x%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\left( \frac{1}{2}\right) ^x%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen Null (der Grenzwert ist Null).
Bewegen wir uns hingegen in Richtung negativer x-Werte, so werden die Funktionswerte immer größer und gehen gegen plus unendlich (der Grenzwert ist plus unendlich).

e-Funktion

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl %%e%% als Basis. Die Bezeichnung wird an dieser Stelle genutzt, da sehr häufig mit e-Funktionen gearbeitet wird.

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty$$

Logarithmusfunktion

  • $$\lim_{x\rightarrow0}\;\ln(x)=-\infty$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\ln(x)=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=ln(x)%%

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\ln(x)%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden auch die Funktionswerte immer größer (der Grenzwert ist plus unendlich).
Bewegen wir uns hingegen in Richtung %%x=0%% so werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen minus unendlich (der Grenzwert ist minus unendlich).

Ein Grenzwert für x gegen minus unendlich existiert nicht, da der Logarithmus im Bereich der reellen Zahlen nur für %%x>0%% berechnet werden kann. Beachte den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion.

Tangensfunktion

  • $$\lim_{\substack{x\to-\frac{\pi}{2} \\ x< -\frac{\pi}{2}}} \tan(x)=\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to-\frac{\pi}{2} \\ x> -\frac{\pi}{2}}} \tan(x)=-\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to\frac{\pi}{2} \\ x< \frac{\pi}{2}}} \tan(x)=\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to\frac{\pi}{2} \\ x> \frac{\pi}{2}}} \tan(x)=-\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=tan(x)%%

Bewegt man sich gegen %%-\frac{\pi}{2}%% von links, so wachsen die Funktionswerte gegen unendlich an. Geht man gegen %%-\frac{\pi}{2}%% von rechts, dann werden die Funktionswerte immer kleiner und der Grenzwert ist minus unendlich. Analoges gilt für %%\frac{\pi}{2}%%.

Rechenregeln

Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten

  • $$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)+\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte und der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte.

  • $$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)-\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

  • $$\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)\cdot\;\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

  • $$\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{\substack{x\rightarrow a}}\;f(x)}{\lim_{\substack{x\rightarrow a}}\;g(x)}$$

Konstanter Faktor

  • $$\lim_{x\rightarrow a}b\cdot f(x)= b\cdot\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$

Der konstante Faktor b kann vor den Limes gezogen werden. Konstante Faktoren können Variablen als Platzhalter für Zahlen oder auch Zahlen selbst sein. Achtung: Damit ist aber gemeint, dass b unabhängig von x ist!

Logarithmus und e-funktion

Bei Produkten von e-Funktionen, Polynomen und Logarithmus gilt der Merkspruch  "e-Funktion gewinnt immer, Logarithmus verliert immer", d.h. z.B., dass bei einem Grenzwert wie

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^5e^x,$$

bei dem die e-Funkion gegen %%0%% und das Polynom gegen %%\infty%% geht, der Grenzwert sich nach der e-Funktion richtet:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^5e^x=0$$

Beim Logarithmus geht es genau andersrum, also bei dem Grenzwert

  • $$\lim_{x\rightarrow0}x\cdot \ln(x),$$

bei dem das Polynom gegen %%0%% geht und der Logarithmus gegen %%-\infty%% geht gilt

  • $$\lim_{x\rightarrow0}x\cdot \ln(x) = 0.$$

Regel von de L'Hospital 

Mit der Regel von de L'Hospital kann man den Grenzwert einiger Funktionen leichter bestimmen.

Klappe die obigen beiden Spoiler für die Beispiele %%y=x^2%% und %%y=x^3%% aus. Wenn du dich nun entlang der x-Achse in positiver Richtung (also in Richtung des Pfeils) bewegst, dann werden die Funktionswerte für beide Beispiele immer größer (plus unendlich).

Klappe die obigen beiden Spoiler für die Beispiele %%y=\frac{1}{x^2}%% und %%y=\frac{1}{x}%% aus. Wenn du dich nun entlang der x-Achse in positiver Richtung (also in Richtung des Pfeils; plus unendlich) bewegst, dann werden die Funktionswerte für beide Beispiele immer kleiner und nähern sich der Null an (der Grenzwert ist Null). Bewegst du dich in Richtung der negativen x-Werte, dann werden die Funktionswerte auch immer kleiner und nähern sich ebenfalls der Null an (Grenzwert ist Null).

Falls der Limes nicht endlich ist, gelten die Produkt- und die Summenregel nicht: $$\lim_ {x\rightarrow 0} 1 = \lim_ {x\rightarrow 0} \frac{x}{x} \neq\underbrace{\lim_ {x\rightarrow 0} x}_ {\rightarrow 0} \cdot \underbrace{\lim_ {x\rightarrow 0} \frac{1}{x}}_ {\rightarrow \pm\infty} = ? $$